如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三點.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)E為拋物線上一動點,是否存在點E使以A、B、E為頂點的三角形與△COB相似?若存在,試求出點E的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若將直線BC平移,使其經(jīng)過點A,且與拋物線相交于點D,連接BD,試求出∠BDA的度數(shù).
解:(1)∵該拋物線過點C(0,2),
∴可設該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2.
將A(﹣1,0),B(4,0)代入,
得 ,
解得 ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+2.
(2)存在.
由圖象可知,以A、B為直角頂點的△ABE不存在,所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形.
在Rt△BOC中,OC=2,OB=4,
∴BC==.
在Rt△BOC中,設BC邊上的高為h,則×h=×2×4,
∴h=.
∵△BEA∽△COB,設E點坐標為(x,y),
∴=,∴y=±2
將y=2代入拋物線y=﹣x2+x+2,得x1=0,x2=3.
當y=﹣2時,不合題意舍去.
∴E點坐標為(0,2),(3,2).
(3)如圖2,連結AC,作DE⊥x軸于點E,作BF⊥AD于點F,
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°.
設BC的解析式為y=kx+b,由圖象,得
,
∴,
yBC=﹣x+2.
由BC∥AD,設AD的解析式為y=﹣x+n,由圖象,得
0=﹣×(﹣1)+n
∴n=﹣,
yAD=﹣x﹣.
∴﹣x2+x+2=﹣x﹣,
解得:x1=﹣1,x2=5
∴D(﹣1,0)與A重合,舍去,D(5,﹣3).
∵DE⊥x軸,
∴DE=3,OE=5.
由勾股定理,得BD=.
∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),
∴OA=1,OB=4,OC=2.
∴AB=5
在Rt△AOC中,Rt△BOC中,由勾股定理,得
AC=,BC=2,
∴AC2=5,BC2=20,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形,
∴∠ACB=90°.
∵BC∥AD,
∴∠CAF+∠ACB=180°,
∴∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°,
∴四邊形ACBF是矩形,
∴AC=BF=,
在Rt△BFD中,由勾股定理,得DF=,
∴DF=BF,
∴∠ADB=45°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,AB是⊙O的直徑.OD垂直于弦AC于點E,且交⊙O于點D.F是BA延長線上一點,若.
(1)求證:FD是⊙O的一條切線;
(2)若AB=10,AC=8,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
據(jù)威海市旅游局統(tǒng)計,今年“五一”小長假期間,我市各旅游景點門票收入約2300萬元,數(shù)據(jù)“2300萬“用科學記數(shù)法表示為.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
某學校為了解學生體能情況,規(guī)定參加測試的每名學生從“立定跳遠”,“耐久跑”,“擲實心球”,“引體向上”四個項目中隨機抽取兩項作為測試項目.
(1)小明同學恰好抽到“立定跳遠”,“耐久跑”兩項的概率是多少?
(2)據(jù)統(tǒng)計,初二三班共12名男生參加了“立定跳遠”的測試,他們的成績?nèi)缦拢?/p>
95 100 90 82 90 65 89 74 75 93 92 85
①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;
②若將不低于90分的成績評為優(yōu)秀,請你估計初二年級180名男生中“立定跳遠”成績?yōu)閮?yōu)秀的學生約為多少人.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
在平面直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點(0,),(3,4).
(1)求拋物線的表達式及對稱軸;
(2)設點關于原點的對稱點為,點是拋物線對稱軸上一動點,記拋物線在,之間的部分為圖象(包含,兩點).若直線與圖象有公共點,結合函數(shù)圖像,求點縱坐標的取值范圍.
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