Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）過(guò)A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP的面積為△ABC面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)△CMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面積為3；（3）P的坐標(biāo)為（5，－5）；（4）或5．

【解析】

試題（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性即可寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可求面積；

（3）利用三角形的面積以及點(diǎn)P所處象限的特點(diǎn)即可求；

（4）分情況進(jìn)行討論，確定點(diǎn)M、N，然后三角形的面積公式即可求.

試題解析：（1）將A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x．

（2）∵拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋4x，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2．

又C，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．

（3）存在點(diǎn)P．作PQ⊥BH于點(diǎn)Q，設(shè)P（m，－m2＋4m）．

∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．

∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP

∴6＋×（m－1）×（3＋m2－4m）＝×3×3＋×（3＋m－1）（m2－4m）

整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，－5）．

（4）或5．

提示：①當(dāng)以M為直角頂點(diǎn)，則S△CMN＝；

②當(dāng)以N為直角頂點(diǎn)，S△CMN＝5；

③當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，此種情況不存在．