Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AD運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線段D﹣O﹣C運(yùn)動(dòng)，已知P、Q同時(shí)開始移動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P、Q之間的距離；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P、Q之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，求t的值；

（3）若線段PQ的中點(diǎn)為M，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中；直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為　　．

Answer 1

【答案】（1）7；（2），t=2或4s時(shí)，PQ=4；（3）.

【解析】

（1）作QK⊥AD于K．根據(jù)矩形性質(zhì)可知tan∠BDA=，所以∠BDA=30°，當(dāng)t=1時(shí)，DQ=2，QK=DQ=1，DK=，根據(jù)勾股定理求出PQ長(zhǎng)即可.（2）分兩種情況討論：①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，QK=t，PK=6﹣2t，已知PQ=4，所以t2+（6﹣2t）2=42，求出t的值即可. ②當(dāng)3＜t≤6時(shí)，作QH⊥AD于H，OK⊥AD于K，OF⊥OH于F．根據(jù)根據(jù)矩形性質(zhì)可知OD+OQ=AQ=2t，AH=t， 已知AP=t，所以點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，由PQ=4即可求出t的值.（3）作OK⊥AD于K．QH⊥AD于H．由矩形性質(zhì)可知OD=OA，由OK⊥AD得DK=AK，根據(jù)DH=PA=t得KH=PK因?yàn)?/span>MK∥HQ，MQ=MP，所以點(diǎn)M在OD上時(shí)的運(yùn)動(dòng)距離為OK=．當(dāng)點(diǎn)Q在線段OC上時(shí)，取CD的中點(diǎn)M′，OK的中點(diǎn)M，連接MM′，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MM′．根據(jù)勾股定理求出MM′的長(zhǎng)即可，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為MM′+.

（1）如圖1中，作QK⊥AD于K．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠BAD=90°，

∴tan∠BDA=，

∴∠BDA=30°，

當(dāng)t=1時(shí)，DQ=2，QK=DQ=1，DK=，

∵PA=，

∴PK=4，

∴PQ= =7．

（2）①如圖1中，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，QK=t，PK=6﹣2t，

∵PQ=4，

∴t2+（6﹣2t）2=42，

解得t=2或（舍棄）

②如圖2中，當(dāng)3＜t≤6時(shí)，作QH⊥AD于H，OK⊥AD于K，OF⊥OH于F．

由題意：AQ=2t，AH=t，

∵AP=t，

∴AH=AP，

∴P與H重合，

當(dāng)PQ=4時(shí)，AQ=8，

∴2t=8，

∴t=2，

綜上所述，t=2或4s時(shí)，PQ=4．

（3）如圖3中，作OK⊥AD于K．QH⊥AD于H．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OD=OA，

∵OK⊥AD，

∴DK=AK，

∵DH=PA=t，

∴KH=PK，

∵MK∥HQ，MQ=MP，

∴點(diǎn)M在線段OK上，當(dāng)點(diǎn)Q從D到O時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)距離=OK=，

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段OC上時(shí)，取CD的中點(diǎn)M′，OK的中點(diǎn)M，連接MM′，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MM′．

在Rt△OMM′中，MM′= =，

∴在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中；直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為.

故答案為．