Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），菱形OABC的頂點(diǎn)B，C在第一象限，tan∠AOC=，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<∠AOC）得到菱形FADE（點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F），EF與OC交于點(diǎn)G，連結(jié)AG。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)OG=4時(shí)，求AG的長；

（3）求證：GA平分∠OGE；

（4）連結(jié)BD并延長交軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，0）時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】(1)(8,4);(2)；（3）（）.

【解析】

試題分析：(1)如圖1，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H,由已知可得∠BAH=∠COA,在Rt△ABH中，tan∠BAH=tan∠AOC=，AB=5，可求得BH=4，AH=3，所以O(shè)H=8，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8,4）；（2）如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥OC于點(diǎn)M,在Rt△AOM中，tan∠AOC=，OA=5，可求得AM=4，OA=3，所以GM=1，再由勾股定理即可求得AG=；(3)如圖1，過點(diǎn)A作AN⊥EF軸于點(diǎn)N,易證△AOM≌△AFN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM=AN,再由角平分線的判定可得GA平分∠OGE；（4）如圖2，過點(diǎn)G作GQ⊥x軸于點(diǎn)Q,先證△GOA∽△BAP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GQ=,再由銳角三角函數(shù)求得OQ=，即可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）.

試題解析：

（1）如圖1，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵四邊形OABC為菱形，∴OC∥AB，

∴∠BAH=∠COA．

∵tan∠AOC=，

∴tan∠BAH=．

又∵在直角△BAH中，AB=5，

∴BH=3AB=4，AH=AB=3，

∴OH=OA+AH=5+3=8，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）；

（2）如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥OC于點(diǎn)M，

在直角△AOM中，∵tan∠AOC=，OA=5，

∴AM=OA=4，OM=OA=3，

∵OG=4，

∴GM=OG-OM=4-3=1，

∴AG=；

（3）如圖1，過點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，

∵在△AOM與△AFN中，

∠AOM＝∠F,OA＝FA,∠AMO＝∠ANF＝90°，

∴△AOM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN，

∴GA平分∠OGE．

（4）如圖2，過點(diǎn)G作GQ⊥x軸于點(diǎn)Q，

由旋轉(zhuǎn)可知：∠OAF=∠BAD=α．

∵AB=AD，

∴∠ABP=，

∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，

∴∠OGA=∠EGA=1，

∴∠OGA=ABP，

又∵∠GOA=∠BAP，

∴△GOA∽△BAP，

∴，

∴GQ=×4=．

∵tan∠AOC=，

∴OQ=×=，

∴G（,）．