Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A₁（1，1），B₁（1，0），以O(shè)為圓心OA₁為半徑作圓弧交x軸于B₂，作Rt△A₂B₂O使得A₂B₂=A₁B₁且OA₂交A₁B₁于C₁，以O(shè)為圓心OA₂為半徑作圓弧交x軸于B₃，作Rt△A₃B₃O使得A₃B₃=A₂B₂且OA₃交A₂B₂于C₂，…，按此規(guī)律，則C_n的縱坐標(biāo)為（$\sqrt{n}$，$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$）（結(jié)果用n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 易證Rt△OC₁ B₁∽R(shí)t△OA₂ B₂，所以有$\frac{{C}_{1}B}{{A}_{2}{B}_{2}}=\frac{OB1}{O{B}_{2}}$，而A₂ B₂=1，OB₁=1，OB₂=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．所以C₁ B₁=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$，故：C₁（1，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）…以此類(lèi)推，直至找出規(guī)律．

解答 解：由題意得：Rt△OC₁ B₁∽R(shí)t△OA₂ B₂，
∴$\frac{{C}_{1}B}{{A}_{2}{B}_{2}}=\frac{OB1}{O{B}_{2}}$
∵A₂ B₂=1，OB₁=1，OB₂=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴C₁ B₁=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$，C₁ （1，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）．
       同理可得：C₂ B₂=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，C2 （$\sqrt{2}$，$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$）
          
                        C₃ B₃=$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$，C₃ （$\sqrt{3}$，$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$）…
          
∴C_n （$\sqrt{n}$，$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求出C_n B_n的長(zhǎng)與OB_n 的長(zhǎng)．