Question

【題目】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC， ∠BCD的度數(shù)是　　；線(xiàn)段BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系是　　．

類(lèi)比探究：

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？；

拓展延伸：

（3）如圖3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若點(diǎn)P滿(mǎn)足PB＝PC，∠BPC＝90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）或．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，通過(guò)線(xiàn)段之間的轉(zhuǎn)換得到AC與DE之間的關(guān)系，在直角三角形BDE中通過(guò)BD與DE的關(guān)系，得到BD,AC之間的關(guān)系.

（2）類(lèi)比（1）的解法，找線(xiàn)段之間的關(guān)系.

(3)分情況進(jìn)行討論，畫(huà)出符合題意得圖形進(jìn)行求解.

解：（1）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，設(shè)BC=m．

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，由BC=AB·tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m，BC=m，

∵AC=AD，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m，

∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt△DEC中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m，∴CE=CD·cos60°=m，DE=CE·tan60°=m，∴在Rt△BED中，BD==，

∴==，故BD=AC．故答案為：120°；BD=AC．

（2）不成立，理由如下：

設(shè)BC=n，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m，AC=BC=n，

∵AC=AD，∠CAD=90°，∴△CAD為等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，CD=AC= 2n，

∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt△BCD中，BD==，

∴==，，故BD=AC．答案為：90°；BD=AC．故結(jié)論不成立．

（3）AP的長(zhǎng)為或．；解答如下：

∵PB=PC，∴點(diǎn)P在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A、B、C、P四點(diǎn)共圓，以線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為圓心構(gòu)造⊙O，如圖4，圖5，分類(lèi)討論如下：

①當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上方時(shí)，如圖4，作PM⊥AC，垂足為M，設(shè)PM=x．

∵PB=PC，∠BPC=90°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，

∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP為等腰直角三角形，∴AM=PM=x，AP=PM=x，

在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∴BC==，∴PC=BC·sin45°=，

在Rt△PMC中，∵∠PMC=90°，PM=x，PC=，CM=4-x，∴，

解得：，（舍），∴AP==；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC的下方時(shí)，如圖5，作PN⊥AB的延長(zhǎng)線(xiàn)，垂足為N，設(shè)PN=y．

同上可得PB=，△PAN為等腰三角形，∴AN=PN=y，∴BN=y-2，

在Rt△PNB中，∵∠PNB=90°，PN=y，BN=y-2，PB=，∴，

解得：，（舍），∴AP==．故AP的長(zhǎng)度為：或．