Question

如圖，直線y=﹣x+8與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t≤3）．

（1）寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，△AQP的面積最大？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）令y=0，則﹣x+8=0，

解得x=6，

x=0時(shí)，y=y=8，

∴OA=6，OB=8，

∴點(diǎn)A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，

∵點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，

∴AP=2t，

AQ=AB﹣BQ=10﹣t，

∴點(diǎn)Q到AP的距離為AQ•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），

∴△AQP的面積S=×2t×（10﹣t）=﹣（t²﹣10t）=﹣（t﹣5）²+20，

∵﹣＜0，0＜t≤3，

∴當(dāng)t=3時(shí)，△AQP的面積最大，S_最大=﹣（3﹣5）²+20=；

（3）若∠APQ=90°，則cos∠OAB=，

∴=，

解得t=，

若∠AQP=90°，則cos∠OAB=，

∴=，

解得t=，

∵0＜t≤3，

∴t的值為，

此時(shí)，OP=6﹣2×=，

PQ=AP•tan∠OAB=（2×）×=，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），

綜上所述，t=秒時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．