Question

（5分）如圖，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分線(xiàn)，O是AB上一點(diǎn), 以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D。

（1）求證： BC是⊙O切線(xiàn)；

（2）若BD=5, DC=3, 求AC的長(zhǎng)。

Answer 1

（1）見(jiàn)解析 （2）AC=6.

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)OA=OD得出∠OAD=∠ODA，根據(jù)角平分線(xiàn)可得∠OAD=∠DAC，從而可以得出：∠ODA=∠DAC，說(shuō)明OD∥AC，得到所求的結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE=DC=3，AC=AE，根據(jù)勾股定理得到BE=4，然后設(shè)AC=x，則AB=x+4，BC=8，根據(jù)直角△ABC的勾股定理求出AC的長(zhǎng)度.

試題解析：（1）證明:連接OD. ∵ OA=OD AD平分∠BAC ∴ ∠ODA=∠OAD ∠OAD=∠CAD

∴ ∠ODA=∠CAD ∴ OD//AC ∴ ∠ODB=∠C=90° ∴ BC是⊙O的切線(xiàn).

過(guò)D點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)段DE ∴DE=DC=3，BD=5， 則BE=4，

又∵AE=AC,在直角△ABC中運(yùn)用勾股定理,設(shè)AC=x,則 解得：x=6， ∴ AC=6

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定、勾股定理的應(yīng)用.