Question

19．已知拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（-1，0），過x軸上一點E作EG⊥x軸交拋物線于點G，交直線AC于點F．
（1）直接寫出點C的坐標（0，4）；
（2）如圖，當點A在x軸的正半軸上，且直線EG為拋物線的對稱軸時，過C作CH⊥GE交GE于H點，若$\frac{FH}{FE}$=$\frac{3}{5}$，求拋物線的表達式；
（3）連接CG，當△CGF為等腰直角三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接利用坐標軸上點的坐標特點即可確定；
（2）先確定出點E坐標，即可得出CH，AE，最后用相似三角形得出的比例式列出方程求解即可；
（3）先判斷出∠AFE≠90°，再分兩種情況利用等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程或方程組求解即可．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=4，
∴C（0，4），
故答案為：0，4；
（2）∵拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A，B（-1，0）兩點，
∴a-b+4=0，
∴b=a+4，
∴拋物線的解析式為y=ax²+（a+4）x+4=（ax+4）（x+1）
∴A（-$\frac{4}{a}$，0），對稱軸為x=-$\frac{2a}$=-$\frac{a+4}{2a}$，
∵直線EG為拋物線的對稱軸，
∴E（-$\frac{a+4}{2a}$，0），
∴OE=|-$\frac{a+4}{2a}$|，
∵EG⊥x，CH⊥GE，
∴CH∥AE，四邊形OCHE是矩形，
∴CH=OE=|-$\frac{a+4}{2a}$|，AE=BE=|-$\frac{a+4}{2a}$+1|，
∵CH∥AE，
∴△CHF∽△AEF，
∴$\frac{CH}{AE}=\frac{FH}{FE}$，
∵$\frac{FH}{FE}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{|-\frac{a+4}{2a}|}{|-\frac{a+4}{2a}+1|}$=$\frac{3}{5}$，
∴a=-1或a=-16，
∴b=a+4=3或-12，
∴拋物線解析式為y=-x²+3x+4或y=-16x²-12x+4．
（3）∵A（-$\frac{4}{a}$，0），C（0，4），
∴直線AC解析式為y=ax+4，
設E（m，0），
∴F（m，am+4），G（m，am²+（a+4）m+4）；
∵△CGF為等腰直角三角形，
∵EG⊥x軸，
∴∠AFE≠90°，
∴①當∠FCG=90°時，
如圖，∴FG=2CH=2OE，點H是FG的中點，且縱坐標和點C的相同，
∴|am²+4m|=|m|①，$\frac{am+4+a{m}^{2}+am+4m+4}{2}$=4②，
聯(lián)立①②得，a=-$\frac{1}{2}$，m=6或a=$\frac{1}{2}$，m=-6，
∴E（6，0）或（-6，0），
②當∠CGF=90°時，CG=FG，
∵FG⊥x軸，
∴CG∥x軸，
∴G的縱坐標為4，
∴G（-$\frac{a+4}{a}$，4），F(xiàn)（-$\frac{a+4}{a}$，$\frac{4}{a+4}$），E（-$\frac{a+4}{a}$，0），
∴CG=|$\frac{a+4}{4}$|，F(xiàn)G=|4-$\frac{4}{a+4}$|，
∴|$\frac{a+4}{4}$|=|4-$\frac{4}{a+4}$|，
∴a=4+4$\sqrt{3}$或a=4-4$\sqrt{3}$，或a=-12+4$\sqrt{5}$或a=-12-4$\sqrt{5}$，
∴-$\frac{a+4}{a}$=-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{a+4}{a}$=-$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$或-$\frac{a+4}{a}$=$\frac{5\sqrt{5}-11}{4}$   或-$\frac{a+4}{a}$=-$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，
∴E（-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，0）或（-$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，0）或（ $\frac{5\sqrt{5}-11}{4}$，0）或（-$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，0）．
即：滿足條件的E的坐標為E（6，0）或（-6，0）或（-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，0）或（-$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，0）或（ $\frac{5\sqrt{5}-11}{4}$，0）或（-$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，0）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)解方程或方程組，是一道中等難度的試題，但計算量比較大．