Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形．AB＝5，點(diǎn)P是對角線AC上任意一點(diǎn)，E、F分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上移動時，則PE+PF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

設(shè)AC交BD于O，作E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N，連接NF，交AC于P，則此時EP+FP的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出N是AD中點(diǎn)，P與O重合，推出PE+PF＝NF＝AB．

解：設(shè)AC交BD于O，作E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N，連接NF，交AC于P，則此時EP+FP的值最小，

∴PN＝PE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴N在AD上，且N為AD的中點(diǎn)，

∵AD∥CB，

∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP，

∵AD＝BC，N為AD中點(diǎn)，F為BC中點(diǎn)，

∴AN＝CF，

在△ANP和△CFP中

，

∴△ANP≌△CFP（ASA），

∴AP＝CP，

即P為AC中點(diǎn)，

∵O為AC中點(diǎn)，

∴P、O重合，

即NF過O點(diǎn)，

∵AN∥BF，AN＝BF，

∴四邊形ANFB是平行四邊形，

∴NF＝AB＝5，

即PE+PF的最小值是5，

故答案為：5．