Question

（2012•益陽）已知：如圖，拋物線y=a（x-1）²+c與x軸交于點A（1-

3

，0）和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P'（1，3）處．
（1）求原拋物線的解析式；
（2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P'作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比

5 -1

2

（約等于0.618）．請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：

5

≈2.236，

6

≈2.449，結(jié)果可保留根號）

Answer 1

分析：（1）利用P與P′（1，3）關(guān)于x軸對稱，得出P點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出C，D兩點坐標(biāo)，進而得出“W”圖案的高與寬（CD）的比．

解答：解：（1）∵P與P′（1，3）關(guān)于x軸對稱，
∴P點坐標(biāo)為（1，-3）；       …（2分）
∵拋物線y=a（x-1）²+c過點A（1-

3

，0），頂點是P（1，-3），
∴

a(1- 3 -1)2+c=0 a(1-1)2+c=-3

；…（3分）
解得

a=1 c=-3

；…（4分）
則拋物線的解析式為y=（x-1）²-3，…（5分）
即y=x²-2x-2．

（2）∵CD平行x軸，P′（1，3）在CD上，
∴C、D兩點縱坐標(biāo)為3；          …（6分）
由（x-1）²-3=3，
解得：x1=1-

6

，x2=1+

6

，…（7分）
∴C、D兩點的坐標(biāo)分別為（1-

6

，3），（1+

6

，3）
∴CD=2

6

…（8分）
∴“W”圖案的高與寬（CD）的比=

3

2 6

=

6

4

（或約等于0.6124）…（10分）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出C，D兩點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．