Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）已知該函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最�。�請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）或或或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；

（2）先求解拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)關(guān)于關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接交對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最短，再求解的解析式即可得到答案；

（3）先求解的長(zhǎng)度，分別以為圓心，為半徑畫(huà)弧，得到與軸的交點(diǎn)符合題意，作的垂直平分線與軸的交點(diǎn)也符合題意，從而可得答案．

解：（1）根據(jù)題意，把點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)解析式．得

，

解得，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）令，得二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；

由于是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，

連接，由于，

要使的周長(zhǎng)最小，只要最�。�

由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，

則，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得的最小值為；

因而與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；

設(shè)直線的解析式為，

根據(jù)題意可得解得

所以直線的解析式為；

因此直線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，解得，

所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）

以為圓心，為半徑畫(huà)弧，交軸于

以為圓心，為半徑，交軸于

由等腰三角形的三線合一得到：

作的垂直平分線交軸于

設(shè)

由

綜上：或或或.