Question

已知關(guān)于的方程.

（1）求證：當(dāng)時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，且tan∠OAC＝4，求該二次函數(shù)的解析式；

（3）已知點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交（2）中的二次函數(shù)圖象于點(diǎn)M，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N．若只有當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方，求一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行說(shuō)明；（2）首先用含k的代數(shù)表示A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)tan∠OAC=4求出k的值，從而得出函數(shù)解析式；（3）根據(jù)圖象求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式.

試題解析：（1）證明：∵＝，

又∵，∴，∴，即，

∴當(dāng)時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）【解析】
∵與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴令，有， 解得 ，或．

∵，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)， ∴A（1，0），B（，0）．

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C， ∴C（0，）．

在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝＝4， 解得．

∴拋物線的解析式為．

（3）依題意并結(jié)合圖象可知，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和5，由此可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（5，4）．

將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式中，得， 解得，

∴一次函數(shù)的解析式為．

考點(diǎn)：根的判別式、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.