Question

10．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB=$2\sqrt{2}$，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE．交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
①求證：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）作出輔助線，得到EN=EM，然后判斷∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE=EF即可；
（2）同（1）的方法證出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可．

解答 ①證明：過E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：
∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
且NE=NC，
∴四邊形EMCN為正方形
∵四邊形DEFG是矩形，
∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠FME}&{\;}\\{EN=EM}&{\;}\\{∠DEN=∠FEM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED=EF，
∴矩形DEFG為正方形，
②解：CE+CG的值為定值，理由如下：
∵矩形DEFG為正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°
∵四邊形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}&{\;}\\{∠ADE=∠CDG}&{\;}\\{DE=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG
∴AC=AE+CE=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
∴CE+CG=4 是定值．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，矩形的判定，三角形的全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷三角形全等．