Question

已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分別以AB，AC為邊在△ABC外側作等邊三角形ABE與等邊三角形ACD．

（1）如圖①，求∠BAD的大��；

（2）如圖②，連接DE交AB于點F．求證：EF=DF．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．

【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠CAD=60°，由∠BAC=30°，根據角的和差關系，于是得到結論；

（2）作EG∥AD，交AB于點G，由等邊三角形的∠DAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAD=90°，然后根據兩直線平行內錯角相等得到∠EGF=90°，再根據∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的內角和定理得到∠ABC=60°，由等邊三角形的性質也得到∠EBG=60°，從而得到兩角相等，再由EB=AB，利用“AAS”證得△EGB≌△ACB，根據全等三角形的對應邊相等得到EG=AC，再由△ADC為等邊三角形得到AD=AC，等量代換可得EG=AD，加上一對對頂角的相等和一對直角的相等，根據“AAS”證得△EGF≌△DAF，最后根據全等三角形的對應邊相等即可得證．

【解答】（1）解：∵△ACD是等邊三角形，

∴∠CAD=60°，

∵∠BAC=30°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°；

（2）證明：如圖②，作EG∥AD，交AB于點G，

由∠DAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAD=∠DAC+∠CAB=90°，

∴∠EGF=∠FAD=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABE為等邊三角形，∠EBG=60°，EB=AB，

∴∠EBG=∠ABC=60°，

在△EGB和△ACB中，

，

∴△EGB≌△ACB（AAS），

∴EG=AC，

又∵△ADC為等邊三角形，

∴AD=AC，

∴EG=AD，

在△EGF和△DAF中，

，

∴△EGF≌△DAF（AAS），

∴EF=DF，即F為DE中點．

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，以及等邊三角形的性質，其中全等三角形的判定方法為：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時，要注意公共角及公共邊，對頂角相等等隱含條件的運用．第二問作出輔助線構造全等三角形是本問的突破點．