【題目】(閱讀)如圖1,等邊△ABC中,P是AC邊上一點(diǎn),Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),若AP=BQ.則過P作PF∥BC交AB于F,可證△APF是等邊三角形,再證△PDF≌QDB可得D是FB的中點(diǎn).請(qǐng)寫出證明過程.
(運(yùn)用)如圖2,△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)(與A,C不重合),Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合),過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)當(dāng)∠BQD=30°時(shí),求AP的長(zhǎng);
(2)在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果不變,直接寫出線段ED的長(zhǎng);如果發(fā)生改變,請(qǐng)說明理由.
【答案】“閱讀”詳見解析;“運(yùn)用”(1)AP=2;(2)運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長(zhǎng)始終為3.
【解析】
【閱讀】
:由△ABC是等邊三角形和PF∥BC可得PF=BQ,進(jìn)而證△PFD≌△QBD得DF=DB.
【運(yùn)用】:(1)由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°,設(shè)AP=x,則PC=6-x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC=QC,即6-x=(6+x),求出x的值即可;
(2)作QG⊥AB,交直線AB于點(diǎn)G,連接QE,PG,由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同,可知AP=BQ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQG,再由AE=BG,PE=QG且PE∥QG,可知四邊形PEQG是平行四邊形,進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BG=AB,DE=AB,由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,可得出DE=3.
解:【閱讀】證明:如圖1中,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵PF∥BC,
∴∠AFP=∠APF=∠ABC=∠ACB=60°,
∴AP=PF,
∵AP=BQ,
∴PF=BQ,
∵PF∥BQ,
∴∠FPD=∠DQB,∠PFD=∠QBD,
在△PFD與△QBD中,
,
∴△PFD≌△QBD;
∴DF=DB.
【運(yùn)用】
:解:(1)如圖2中,
∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠BQD=30°,
∴∠QPC=90°,
設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x,
∴QC=QB+BC=6+x,
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC=QC,即6﹣x=(6+x),解得x=2,
∴AP=2;
(2)作QG⊥AB,交直線AB于點(diǎn)G,連接QE,PG,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠PGQ=∠AEP=90°,
∵點(diǎn)P、Q速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠ABC=∠GBQ=60°,
在△APE和△BQG中,
∵∠AEP=∠BGQ=90°,
∴∠APE=∠BQG,
,
∴△APE≌△BQG(AAS),
∴AE=BG,PE=QG且PE∥QG,
∴四邊形PEQG是平行四邊形,
∴DE=EG,
∵EB+AE=BE+BG=AB,
∴DE=AB,
又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,
∴DE=3,
故運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長(zhǎng)始終為3.
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(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?
(2)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若軍寧中學(xué)共有960名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該中學(xué)最喜愛國(guó)畫的學(xué)生有多少名?
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(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58 cm2,李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲?
(2)李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48 cm2,你認(rèn)為他的說法正確嗎?請(qǐng)說明理由.
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【題目】為了對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育,某校組織學(xué)生去看演出,有甲乙兩種票,已知甲乙兩種票的單價(jià)比為4:3,單價(jià)和為42元.
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(2)學(xué)校計(jì)劃拿出不超過750元的資金,讓七年級(jí)一班的36名學(xué)生首先觀看,且規(guī)定購(gòu)買甲種票必須多于15張,有哪幾種購(gòu)買方案?
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