Question

如圖：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；

求證：（1）CF=EB；

     （2）AB=AC+CF．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．

【專題】證明題．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，可得點(diǎn)D到AB的距離=點(diǎn)D到AC的距離即CD=DE．再根據(jù)Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；

（2）利用角平分線性質(zhì)證明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再將線段AC進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL），

∴CF=EB；

（2）在△ADC與△ADE中，

，

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+CF．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，由已知能夠注意到點(diǎn)D到AB的距離=點(diǎn)D到AC的距離，即CD=DE，是解答本題的關(guān)鍵．