Question

【題目】己知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)d在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.

（I）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：

（Ⅱ）Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A'，

①判斷點(diǎn)A'與直線BQ的位置關(guān)系：點(diǎn) （填寫“在”或“不在”）直線BQ上：

②若，求點(diǎn)2的坐標(biāo)：

（Ⅲ）若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（I），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（II）①在； ②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；（Ⅲ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）將C點(diǎn)代入函數(shù)解析式，可求出解析式，并進(jìn)行配方，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①由對(duì)稱的角度特點(diǎn)及角平線即可判斷A'與直線BQ的位置關(guān)系；

②先求出拋物線與x軸胡交點(diǎn)，在求出BD的解析式，從而得到E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，A’點(diǎn)坐標(biāo)，從而，建立方程即可求解.

（3）作△ABC的外接圓，由題意可知P在圓I與二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，再根據(jù)內(nèi)心的特點(diǎn)得，從而建立方程得到I胡坐標(biāo)，根據(jù)即可求解.

解：（I）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入地物線解析式，得，

解得

故該拋物線的解析式為

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（II）①在

②∵點(diǎn)A關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為

三點(diǎn)在一條直線上，且

當(dāng)時(shí)，

解得

設(shè)直線BD的解析式為，

由，得直線BD的解析式為

直線BD與y軸交點(diǎn)為

作軸于點(diǎn)N

∵點(diǎn)Q在線段BD上，三點(diǎn)在一條直線上，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵點(diǎn)Q在線段BD上，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，其中

解得

在內(nèi)

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

（Ⅲ）作△ABC的外接圓，設(shè)與拋物線的對(duì)軸位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

可知圓心I必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對(duì)稱輔直線上

都是所對(duì)的圓周角，

設(shè)圓心

由，得

點(diǎn)P的坐標(biāo)為

由對(duì)稱性得點(diǎn)的坐標(biāo)為

符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或