Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝2∠AOC，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°至圖2的位置，此時(shí)∠MOC＝　 　°；

（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；

（3）在上述直角三角板從圖1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，若三角板繞點(diǎn)O按5°每秒的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時(shí)，求此時(shí)三角板繞點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由詳見解析；（3）三角板繞點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12秒或48秒．

【解析】

（1）由已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝2∠AOC，可求出∠BOC的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以求出∠MOC的度數(shù)；

（2）因?yàn)?/span>∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可；

（3）求得∠AOC＝60°，則∠AOD＝30°或∠AON＝30°，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)直線ON平分∠AOC，據(jù)此求解．

解：（1）∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠BOC＝2∠AOC，

∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，

由旋轉(zhuǎn)可知∠BOM＝45°，

∴∠MOC＝120°﹣45°＝75°．

故答案為：75．

（2）由（1）得∠AOC＝60°，

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，

∴∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系為：∠AOM﹣∠NOC＝30°．

（3）由（1）得∠AOC＝60°，

①如下圖，

延長NO，

當(dāng)直線ON恰好平分銳角∠AOC，

∴∠AOD＝∠COD＝30°，

即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)NO延長線平分∠AOC，

由題意得，5t＝60，

∴t＝12；

②如下圖，

當(dāng)NO平分∠AOC，

∴∠AON＝30°，

即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°時(shí)NO平分∠AOC，

∴5t＝240，

∴t＝48，

∴三角板繞點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12秒或48秒．