【題目】在平面直角坐標(biāo)系XOY中,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),B(8,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn),連接BC,設(shè)點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),PD⊥BC,垂足為點(diǎn)D.
①是否存在點(diǎn)P,使線段PD的長度最大?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
②當(dāng)△PDC與△COA相似時,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)①當(dāng)P(4,6)時,PD的長度最大,最大值是;②當(dāng)△PDC與△COA相似時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4)或(3, ).
【解析】
(1)把A(﹣2,0),B(8,0)代入拋物線y=﹣x2+bx+c,即可求解;
(2)①在Rt△PDE中,PD=PEsin∠PED=PEsin∠OCB=PE,即可求解;②分∠PCD=∠CBO、∠PCD=∠BCO兩種情況,分別求解.
(1)把A(﹣2,0),B(8,0)代入拋物線y=﹣x2+bx+c,,解得:,
∴拋物線的解析式為:;
(2)由(1)知C(0,4),∵B(8,0),
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:
直線BC的解析式為:y=﹣x+4,
①如圖1,過P作PG⊥x軸于G,PG交BC于E,
Rt△BOC中,OC=4,OB=8,
∴BC=,
在Rt△PDE中,PD=PEsin∠PED=PEsin∠OCB=PE,
∴當(dāng)線段PE最長時,PD的長最大,
設(shè)P(t,),則E(t,﹣t+4),
∴PE=PG﹣EG=,(0<t<8),
當(dāng)t=4時,PE有最大值是4,此時P(4,6),
∴PD═,
即當(dāng)P(4,6)時,PD的長度最大,最大值是;
②∵A(﹣2,0),B(8,0),C(0,4),
∴OA=2,OB=8,OC=4,
∴AC2=22+42=20,AB2=(2+8)2=100,BC2=42+82=80,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴△COA∽△BOC,
當(dāng)△PDC與△COA相似時,就有△PDC與△BOC相似,
∵相似三角形的對應(yīng)角相等,
∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO,
(I)若∠PCD=∠CBO時,即Rt△PDC∽Rt△COB,
此時CP∥OB,
∵C(0,4),
∴yP=4,
∴=4,
解得:x1=6,x2=0(舍),
即Rt△PDC∽Rt△COB時,P(6,4);
(II)若∠PCD=∠BCO時,
即Rt△PDC∽Rt△BOC,
如圖2,過P作x軸的垂線PG,交直線BC于F,
∴PF∥OC,
∴∠PFC=∠BCO,
∴∠PCD=∠PFC,
∴PC=PF,
設(shè)P(n,),則PF=﹣n2+2n,
過P作PN⊥y軸于N,
Rt△PNC中,PC2=PN2+CN2=PF2,
∴n2+(﹣4)2=(﹣n2+2n)2,
解得:n=3,
即Rt△PDC∽Rt△BOC時,P(3,);
綜上所述,當(dāng)△PDC與△COA相似時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,4)或(3,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在CD上,且CF=BE,AE與BF交于G點(diǎn).
(1)如圖1,求證:①AE=BF,②AE⊥BF.
(2)連接CG并延長交AB于點(diǎn)H,
①若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)(如圖2),求BH的長;
②若點(diǎn)E在BC的邊上滑動(不與B、C重合),當(dāng)CG取得最小值時,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“五一”期間,小張把容積為60升的油箱加滿后自駕出行,行駛一段路程后進(jìn)入服務(wù)區(qū)停車休息,休息后,小張離開服務(wù)區(qū)繼續(xù)前行,為能順利到達(dá)目的地,小張需在相距S千米的加油站加油.若小張從出發(fā)點(diǎn)到服務(wù)區(qū)休息點(diǎn)行駛的路程為200千米,且這期間平均油耗為每千米0.12升.
(1)求小張離開服務(wù)區(qū)休息點(diǎn)時,油箱內(nèi)還有多少升汽油?
(2)記小張從離開服務(wù)區(qū)休息點(diǎn)到進(jìn)入加油站加油期間的平均油耗為每千米a升,請寫出S與a的函數(shù)關(guān)系式;若0.08≤a≤0.1,求S的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某校7年級的學(xué)生從學(xué)校O點(diǎn)出發(fā),要到某地P處進(jìn)行探險活動,他們先向正西方向走8km到A處,又往正南方向走4km到B處,又折向正東方向走6km到C處,再折向正北方向走8km到D處,最后又往正東方向走4km才到探險地P;取點(diǎn)O為原點(diǎn),取點(diǎn)O的正東方向為x軸的正方向,取點(diǎn)O的正北方向為y軸的正方向,以2km為一個單位長度建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出探險路線圖;
(2)分別寫出A、B、C、D、P點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在矩形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE﹣ED﹣DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止;點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止,速度均為每秒1個單位長度.如果點(diǎn)P、Q同時開始運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t,△BPQ的面積為y,已知y與t的函數(shù)圖象如圖②所示,以下結(jié)論:①BC=10;②cos∠ABE=;③當(dāng)0≤t≤10時,y=t2;④當(dāng)t=12時,△BPQ是等腰三角形;⑤當(dāng)14≤t≤20時,y=110﹣5t,其中正確的有( 。
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學(xué)考試中,小明有一道選擇題(只能在四個選項A、B、C、D中選一個)不會做,便隨機(jī)選了一個答案;小亮有兩道選擇題都不會做,他也隨機(jī)選了兩個答案.
(1)小明隨機(jī)選的這個答案,答對的概率是 ;
(2)通過畫樹狀圖或列表法求小亮兩題都答對概率是多少?
(3)這個班數(shù)學(xué)老師參加集體閱卷,在閱卷的過程中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤率較高.他想:若這10道選擇題都是靠隨機(jī)選擇答案,則這10道選擇題全對的概率是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:四邊形ABCD中,AB=2,CD=3,M、N分別是AD,BC的中點(diǎn),則線段MN的取值范圍是( 。
A. 1<MN<5 B. 1<MN≤5 C. <MN< D. <MN≤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖已知拋物線y=﹣x2+(1﹣m)x﹣m2+12交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B(0,3),頂點(diǎn)C位于第二象限,連接AB,AC,BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積等于△ABC的面積?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)將△ABC沿x軸向右移動t個單位長度(0<t<1)時,平移后△ABC和△ABO重疊部分的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn),O為BD的中點(diǎn),PO的延長線交BC于點(diǎn)Q。
(1)求證:OP=OQ;
(2)若AD=8cm,AB=6cm,P從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(不與點(diǎn)D重合),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒,請用t表示PD的長;并求當(dāng)t為何值時,四邊形PBQD是菱形。
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