Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點，DC=2BD=4，以點D為頂點作正方形DEFG，且DE=BC，連接AE，AG．若將正方形DEFG繞D點旋轉(zhuǎn)一周，當AE取最小值時，AG的長為____

Answer 1

【答案】8

【解析】

點A作AM⊥BC于M，由已知得出BD=2，得出BC＝BD＋DC＝6，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝AC＝BC＝6，BM＝3，得出DM＝BMBD＝1，在Rt△ABM中，由勾股定理得出AM=，當正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到點E、A、D在同一條直線上時，AD＋AE＝DE，即此時AE取最小值，在Rt△ADM中，由勾股定理得出AD＝，在Rt△ADG中，由勾股定理即可得出AG=8

解：過點A作AM⊥BC于M，
∵DC=2BD=4，

∴BD＝2，
∴BC＝BD＋DC＝2＋4＝6，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∵AM⊥BC，
∴BM＝BC＝3，
∴DM＝BMBD＝32＝1，
在Rt△ABM中，AM＝，
如圖，當點E在DA延長線上時，AE＝DEAD．
此時AE取最小值，
在Rt△ADM中，AD＝，

∵四邊形形DEFG是正方形，

∴∠ADG=90°，GD=DE=BC=6，
∴在Rt△ADG中，AG＝，
故答案為：8．