Question

【題目】如圖，直線y=x+b（b＞4）與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，與反比例函數(shù) 的圖象相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），⊙O是以CD長(zhǎng)為半徑的圓．CE∥x軸，DE∥y軸，CE、DE相交于點(diǎn)E．
（1）△CDE是三角形；點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（用含有b的代數(shù)式表示）；
（2）b為何值時(shí)，點(diǎn)E在⊙O上？
（3）隨著b取值逐漸增大，直線y=x+b與⊙O有哪些位置關(guān)系？求出相應(yīng)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）等腰直角；（ ， ）；（ ， ）
（2）解：當(dāng)點(diǎn)E在⊙O上時(shí)，如圖1，連接OE．

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為： ，縱坐標(biāo)為： ，

則OE=CD．

∵直線y=x+b與x軸、y軸相交于點(diǎn)A（﹣b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，

∴△DCE、△AOB是等腰直角三角形．

∵整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，

∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45°．

∵CE∥x軸，DE∥y軸，

∴四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形．

∴OE=AC=BD．

∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F．

則△AFC∽△AOB．

∴ ．

∴AF=CF= BO= b．

∴ ，

解得： ．

∵b＞4，∴ ．

∴當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)E在⊙O上

（3）解：當(dāng)⊙O與直線y=x+b相切于點(diǎn)G時(shí)，

如圖2，連接OG．

∵整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，

∴點(diǎn)O、E、G在對(duì)稱軸上．

∴GC=GD= CD= OG= AG．

∴AC=CG=GD=DB．

∴AC= AB．

過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H．

則△AHC∽△AOB．

∴ ．

∴C的縱坐標(biāo)： ．

∴ ，

解得 ．

∵b＞4，∴ ．

∴當(dāng) 時(shí)，直線y=x+b與⊙O相切；

當(dāng) 時(shí)，直線y=x+b與⊙O相離；

當(dāng) 時(shí)，直線y=x+b與⊙O相交．

【解析】解：（1）根據(jù)直線y=x+b（b＞4）與反比例函數(shù) 的圖象相交于點(diǎn)C、D，CE∥x軸，DE∥y軸， 則y=x+b與y=x平行，
故∠DCE=45°，
則△CDE是等腰直角三角形；
將y=x+b與y=﹣ ，聯(lián)立得出：
x+b=﹣ ，
解得：x1= ，x2= ，分別代入y=x+b得：
y1= ，y2= ，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（ ， ），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（ ， ）；
所以答案是：等腰直角，（ ， ），（ ， ）；