Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣(x+1)(x﹣3)與x軸分別交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，⊙P是△ABC的外接圓．

(1)直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；

(2)求⊙P的半徑；

(3)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠BDC＞90°，求點(diǎn)D縱坐標(biāo)的取值范圍；

(4)E是線段CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得線段AF，求線段OF的最小值．

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)；拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1；(2)⊙P的半徑為；(3)1＜y＜2；(4)3﹣．

【解析】

(1)分別代入y＝0、x＝0求出與之對(duì)應(yīng)的x、y的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再由二次函數(shù)的對(duì)稱性可找出拋物線的對(duì)稱軸；

(2)連接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出BP的值即可；

(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，y)，當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，利用勾股定理可求出y值，進(jìn)而可得出：當(dāng)1＜y＜2時(shí)，∠BDC＞90°；

(4)將△ACO繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)O落在點(diǎn)O′處，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可找出點(diǎn)C′的坐標(biāo)及∠AC′O′＝45°，進(jìn)而可找出線段C′O′所在直線的解析式，由點(diǎn)E在CO上可得出點(diǎn)F在C′O′上，過點(diǎn)O作OF⊥C′O′于點(diǎn)F，則△OC′F為等腰直角三角形，此時(shí)線段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出此時(shí)OF的長即可.

(1)當(dāng)y＝0時(shí)，﹣(x+1)(x﹣3)＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)；

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣(0+1)×(0﹣3)＝3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)；

∵拋物線與x軸交于點(diǎn)(﹣1，0)、(3，0)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1；

(2)連接CP、BP，如圖1所示，

在Rt△BOC中，BC＝,

∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，

∴CP＝BP＝BC＝，

∴⊙P的半徑為；

(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，y)，當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，BD2+CD2＝BC2，

∴[(﹣1﹣1)2+(0﹣y)2]+[(0﹣1)2+(3﹣y)2]＝10，

整理，得：y2﹣3y+2＝0，

解得：y1＝1，y2＝2，

∴當(dāng)1＜y＜2時(shí)，∠BDC＞90°；

(4)將△ACO繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)O落在點(diǎn)O′處，如圖2所示．

∵AC＝，∠ACO＝45°，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(3﹣3，0)，∠AC′O′＝45°，

∴線段C′O′所在直線的解析式為y＝﹣x+3﹣3，

∵點(diǎn)E在線段CO上，

∴點(diǎn)F在線段C′O′上．

過點(diǎn)O作OF⊥C′O′于點(diǎn)F，則△OC′F為等腰直角三角形，此時(shí)線段OF取最小值，

∵△OC′F為等腰直角三角形，

∴OF＝OC′＝(3﹣3)＝3﹣．