Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，點(diǎn)P沿AB邊從A向B以2 cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從D向A以1 cm/s的速度移動(dòng).如果P，Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)時(shí)間(0≤t≤6)，那么：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？

(2)求四邊形QAPC的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【解析】(1)對(duì)于任意時(shí)刻的t有：AP=2t，DQ=t，

AQ=6-t，

當(dāng)AQ=AP時(shí)，△QAP為等腰直角三角形,

即6-t=2t，∴t=2，

∴當(dāng)t=2時(shí)，△QAP為等腰直角三角形.

(2)在△AQC中，AQ=6-t，AQ邊上的高CD=12，

∴S_△AQC=(6-t)×12=36-6t,

在△APC中，AP=2t，AP邊上的高CB=6，

∴S_△APC=×2t×6=6t.

∴四邊形QAPC的面積

S_{四邊形QAPC}=S_△AQC+S_△APC

=36-6t+6t=36(cm²),

所以，經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QAPC的面積保持不變.

(3)根據(jù)題意，應(yīng)分兩種情況來(lái)研究：

①當(dāng)時(shí)，△QAP∽△ABC，

則有，求得t=1.2(s).

②當(dāng)時(shí)，△PAQ∽△ABC，

則有，求得t=3(s)

∴當(dāng)t=1.2或3時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.