Question

11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=80cm，BC=60cm，動(dòng)點(diǎn)P在線段CA上從C點(diǎn)出發(fā)沿CA方向以12cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CB上從C點(diǎn)出發(fā)沿CB方向以5cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，如果P，Q兩點(diǎn)同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒（0＜t＜$\frac{20}{3}$）時(shí)，四邊形APQB的周長(zhǎng)為y（cm），請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）試用含t的代數(shù)式分別表示線段AP，QB，PQ的長(zhǎng)度．
（2）寫(xiě)出四邊形APQB的周長(zhǎng)y（cm）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQB的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)比為11：12？若存在請(qǐng)求出t的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間和勾股定理即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，利用四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（3）先求出三角形ABC的周長(zhǎng)，用（2）求得的周長(zhǎng)建立方程求的時(shí)間．

解答 解：（1）∵AC=80cm，BC=60cm，
∴CP=12t，CQ=5t，
∴AP=80-12t，BQ=60-5t，
在Rt△PCQ中，PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=13t，
（2）在Rt△ABC中，AC=80，BC=60，
∴AB=100，
由（1）知，PQ=13t，AP=80-12t，BQ=60-5t，
∴四邊形APQB的周長(zhǎng)y=AP+AB+BQ+PQ=80-12t+100+60-5t+13t=240-4t（0＜t＜$\frac{20}{3}$）；
（3）由（2）知，AB=100，
∵AB=80，BC=60，
∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=100+80+60=240，
∵四邊形APQB的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)比為11：12，
∴四邊形APQB的周長(zhǎng)為$\frac{11}{12}$×240=220，
由（2）知，四邊形APQB的周長(zhǎng)y=240-4t
∴240-4t=220，
∴t=5，
∴存在時(shí)間t=5秒時(shí)，四邊形APQB的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)比為11：12．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理，四邊形的周長(zhǎng)公式，三角形的周長(zhǎng)公式，解本題的關(guān)鍵是利用勾股定理表示出PQ．