Question

【題目】如圖，已知的圓心為點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣x+c過(guò)點(diǎn)A，與交于B、C兩點(diǎn)，連接AB、AC，且AB⊥AC，B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是2、1．

（1）求B、C點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）直線y＝kx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)E（與點(diǎn)D不重合）在該直線上，且AD＝AE，請(qǐng)判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上，并說(shuō)明理由；

（3）如果直線y＝k1x﹣1與⊙A相切，請(qǐng)直接寫出滿足此條件的直線解析式．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(2，2)、(5，1)，；（2）點(diǎn)E在拋物線上，理由見解析；（3）或y＝2x﹣1．

【解析】

（1）根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定可以得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B和C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）中的拋物線的解析式可以得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可以求得直線BD的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)E（與點(diǎn)D不重合）在該直線上，且AD＝AE，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可得到相應(yīng)的縱坐標(biāo)，即可判斷點(diǎn)E是否在拋物線上；

（3）根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的輔助線，然后利用分類討論的方法可以求出滿足條件的直線解析式．

解：（1）過(guò)點(diǎn)B、C分別作x軸的垂線交于點(diǎn)R、S，

∠BAR+∠RBA＝90°，∠BAR+∠CAS＝90°，

∴∠RAB＝∠SCA，

又∵AB＝AC，

∴（AAS），

∴AS＝BR，AR＝CS，

∵B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是2、1，

∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，

故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（2，2）、（5，1），

將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2﹣x+c，

解得：

故拋物線的表達(dá)式為

（2）∵直線y＝kx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，2），

∴2＝2k+1，得

即直線

當(dāng)y＝0時(shí)， 得x＝﹣2，

即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∵點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），

∴ AD＝5，

∵點(diǎn)E在直線BD上，

∴設(shè)E的坐標(biāo)為，

∵AD＝AE，

∴

解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝6，

∴點(diǎn)E（6，4），

當(dāng)x＝6時(shí)，

∴點(diǎn)E在拋物線上；

（3）①當(dāng)切點(diǎn)在x軸下方時(shí)，

設(shè)直線y＝k1x﹣1與⊙A相切于點(diǎn)H，

直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)K、G（0，﹣1），連接GA，

∵AR＝1， ∠BRA＝90°，點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)G（0，﹣1），

∴AB＝ AG＝

∴AH＝AB＝

∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠OKG，

∴，

∴ ，

即：

解得：KO＝2或（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（﹣2，0），

把點(diǎn)K的坐標(biāo)代入y＝k1x﹣1，得

0＝﹣2k1﹣1，得k1＝，

∴直線的表達(dá)式為；

②當(dāng)切點(diǎn)在x軸上方時(shí)，如圖，切點(diǎn)為，

記與軸交于點(diǎn)，

設(shè) 則

由勾股定理得：

解得：（舍去）

經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，

把 代入y＝k1x﹣1，

此時(shí)切線為：

故滿足條件的直線解析式為或y＝2x﹣1．