Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，沿BD折疊使點(diǎn)A到點(diǎn)A′處，DA′交BC于點(diǎn)F.

(1)求證：FB＝FD；

(2)求證：CA′∥BD；

(3)求△DBF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得∠ADB＝∠BDA′，∠ADB＝∠DBC，等量代換求出∠BDA′＝∠DBC，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得結(jié)論；

（2）首先求出FC＝FA′，得到∠FCA′＝∠FA′C，然后根據(jù)∠BFD＝∠CFA′求出∠FBD＝∠FCA′，利用平行線的判定可得結(jié)論；

（3）設(shè)FB＝FD＝x，則A′F＝8-x，在Rt△BA′F中，利用勾股定理構(gòu)造方程求出BF即可解決問題.

解：（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ADB＝∠BDA′，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠BDA′＝∠DBC，

∴FB＝FD；

（2）由折疊的性質(zhì)可得：AD＝A′D，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，

∴A′D＝BC，

∵FB＝FD，

∴FC＝FA′，

∴∠FCA′＝∠FA′C，

∵∠BFD＝∠CFA′，

∴∠FBD＋∠FDB＝∠FCA′＋∠FA′C，即2∠FBD＝2∠FCA′，

∴∠FBD＝∠FCA′，

∴CA′∥BD；

（3）∵AD＝A′D＝8，AB＝A′B＝6，FB＝FD，∠BA′F＝∠A＝90°，

∴設(shè)FB＝FD＝x，則A′F＝8-x，

在Rt△BA′F中，∵BA′2＋A′F2＝BF2，

∴，

解得：，即，

∴.