Question

【題目】（基礎(chǔ)運(yùn)用）

如圖①所示，直線L：y=x+5與x軸負(fù)半軸，y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．

（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為 ，S△OAB= ；

（2）如圖②所示，設(shè)Q為AB延長線上一點(diǎn)，作直線OQ，過A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，①求證：△AOM≌△OBN；②若AM=4，求MN的長；

（思維延伸）直線L：y=mx+5m與x軸負(fù)半軸，y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．

（3）當(dāng)m取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以OB、AB為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第 一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點(diǎn)，如圖③．問：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想線段PE與線段PF的數(shù)量關(guān)系并證明；

（4）如圖③，當(dāng)m取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，以AB為邊在第二象限作等腰直角△ABE，則動(dòng)點(diǎn)E在直線 上運(yùn)動(dòng).（直接寫出直線的表達(dá)式）

Answer 1

【答案】（1）(-5，0)，；（2）①證明見詳解，②7；（3）PE=PF，證明見詳解；（4）y=-x＋5.

【解析】

（1）由直線L解析式，求出A與B坐標(biāo)，從而可以求出△OAB的面積.

（2）①由OA=OB，對頂角相等，且一對直角相等，利用AAS得到△AMO≌△OBN.

②已知AO和AM，利用勾股定理從而求得OM以及MN.

（3）如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OA=BK，EK=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，從而進(jìn)行求證即可.

（4）由（3）可得OA=BK=5，EK=OB=5m，則可得OK=OB+BK=5m+5，即可得點(diǎn)E(-5m，5m+5)，繼而可知?jiǎng)狱c(diǎn)E在直線y=-x+5上運(yùn)動(dòng)．

解：（1）∵直線L：y=x＋5與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，

∴A(-5，0)，B(0，5)，S△OAB=

（2）①∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，

∴∠AMO=∠BNO=90°，∠AOM＋∠OAM=90°，

∵∠AOM＋∠BON=90°，

∴∠OAM=∠BON，

在△AOM與△OBN中，∠OAM=∠BON，∠AMO=∠BNO，OA=OB，

∴△AOM≌△OBN (AAS)，

②由題意得OA=5，AM=4,利用勾股定理求得OM=3，又由①△AOM≌△OBN，可知AM=ON=4,即有MN=OM+ON=3+4=7.

（3）PE=PF.

理由︰如圖，作EK⊥y軸于K點(diǎn)，

∵△ABE為等腰直角三角形，

∴AB=BE，∠ABE=90°，

∴∠EBK＋∠ABO=90°，

∵∠EBK＋∠BEK=90°，

∴∠ABO=∠BEK ,

在△AOB和△BKE中，∠BKE=∠AOB=90°,∠ABO=∠BEK ,AB=BE,

∴△AOB≌△BKE(AAS)，

∴OA=BK，EK=OB，

∵△OBF為等腰直角三角形，

∴OB=BF，EK=BF，

在△EKP和△FBP中，∠EKP=∠PBF=90°,∠KPE=∠BPF,EK=FB,

∴△PBF≌△PKE(AAS)，

∴PE=PF.

（4）如圖3，∵A(-5，0)，B(0，5m)，

∴OA=BK=5，EK=OB=5k，

∴OK=OB＋BK=5m＋5，

∴點(diǎn)E(-5m，5m＋5)，

∵動(dòng)點(diǎn)E在直線y=-x＋5上運(yùn)動(dòng).

故答案為︰y=-x＋5.