Question

17．如圖，直線l：y=x-1與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的圖象交于點(diǎn)C，且AB=AC．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P（n+1，n）（n＞1）是直線l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（x＞0）$和、$y=-\frac{k}{x}（x＜0）$的圖象于M，N兩點(diǎn)．連接MC，NA，當(dāng)MC∥NA時(shí)，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l：y=x-1與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，又由與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的圖象交于點(diǎn)C，且AB=AC，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）由點(diǎn)P（n+1，n）（n＞1）是直線l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（x＞0）$和、$y=-\frac{k}{x}（x＜0）$的圖象于M，N兩點(diǎn)，可表示出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而表示出PM，PN，PC，PA的長(zhǎng)，由MC∥NA，可得$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PC}{PA}$，繼而可得方程：$\frac{n+1-\frac{2}{n}}{n+1+\frac{2}{n}}$=$\frac{\sqrt{2}（n-1）}{\sqrt{2}n}$，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵y=x-1與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，-1），
∵AB=AC，A，B，C都在直線l上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴1=$\frac{k}{2}$，
解得：k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵點(diǎn)P（n+1，n）（n＞1）是直線l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$與y=-$\frac{2}{x}$的圖象于M，N兩點(diǎn)，
∴M（$\frac{2}{n}$，n），N（-$\frac{2}{n}$，2），
∴PM=n+1-$\frac{2}{n}$，PN=n+1+$\frac{2}{n}$，PC=$\sqrt{（n+1-2）^{2}+（n-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$（n-1），PA=$\sqrt{（n+1-1）^{2}+（n-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$n，
∵M(jìn)C∥NA，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PC}{PA}$，
即$\frac{n+1-\frac{2}{n}}{n+1+\frac{2}{n}}$=$\frac{\sqrt{2}（n-1）}{\sqrt{2}n}$，
整理得：n²-3n+2=0，
解得：n₁=2，n₂=1（舍去），
∴n=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及平行線分線段成比例定理．注意求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出PM，PN，PC，PA的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．