Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P（-1，2），AB⊥x軸于點(diǎn)E，正比例函數(shù)y=mx的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A，P兩點(diǎn)。

（1）求m，n的值與點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求證：∽

（3）求的值

Answer 1

【答案】（1），，點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出m，n的值，利用正、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)找出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可解答；

（2）由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得出∠DCP=∠OAE，結(jié)合AB⊥x軸可得出∠AEO=∠CPD=90°，進(jìn)而即可證出△CPD∽△AEO；

（3）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出AE，OE，AO的長，由相似三角形的性質(zhì)可得出∠CDP=∠AOE，再利用正弦的定義即可求出sin∠CDB的值．

解：（1）∵正比例函數(shù)，反比例函數(shù)均經(jīng)過點(diǎn)，

∴，，

解得：，.

∴正比例函數(shù)，反比例函數(shù).

又正比例函數(shù)與反比例函數(shù)均是中心對(duì)稱圖形，則其兩個(gè)交點(diǎn)也成中心對(duì)稱點(diǎn)，

∵，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是.

（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB∥CD，

∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．

∵AB⊥x軸，

∴∠AEO=∠CPD=90°，

∴△CPD∽△AEO．

（3）∵點(diǎn)的坐標(biāo)是.

∴，，

∴，

∵，

∴△CPD∽△AEO，

∴.