Question

【題目】如圖,矩形OABC的頂點A. C分別在x、y軸的正半軸上,點D為BC邊上的點,反比例函數y= (k≠0)在第一象限內的圖象經過點D(m,2)和AB邊上的點E(3,).

(1)求反比例函數的表達式和m的值；

(2)將矩形OABC的進行折疊，使點O于點D重合，折痕分別與x軸、y軸正半軸交于點F，G，求折痕FG所在直線的函數關系式。

Answer 1

【答案】（1）y=，m=1（2）y= x+

【解析】

（1）由點E的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值，再由點B在反比例函數圖象上，代入即可求出m值；

（2）設OG=x，利用勾股定理即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，從而得出點G的坐標．再過點F作FH⊥CB于點H，由此可得出△GCD∽△DHF，根據相似三角形的性質即可求出線段DF的長度，從而得出點F的坐標，結合點G、F的坐標利用待定系數法即可求出結論．

(1)∵反比例函數y=kx(k≠0)在第一象限內的圖象經過點E(3, )，

∴k=3×=2，

∴反比例函數的表達式為y=.

又∵點D(m,2)在反比例函數y=的圖象上，

∴2m=2，解得：m=1.

(2)設OG=x，則CG=OCOG=2x，

∵點D(1,2)，

∴CD=1.

在Rt△CDG中,∠DCG=90°，CG=2x，CD=1，DG=OG=x，

∴CD+CG=DG,即1+(2x)=x，

解得：x= ，

∴點G(0, ).

過點F作FH⊥CB于點H，如圖所示。

由折疊的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF.

∵∠CGD+∠CDG=90°,∠CDG+∠HDF=90°，

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90°，

∴△GCD∽△DHF，

∴，

∴DF=2GD=，

∴點F的坐標為(,0).

設折痕FG所在直線的函數關系式為y=ax+，

∴有 ,解得： .

∴折痕FG所在直線的函數關系式為y= x+.