如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點,AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,且AC平分∠PAE,過C作CD⊥PA,垂足為D.

(1)求證:CD為⊙O的切線;

(2)若DC=4,AC=5,求⊙O的直徑的AE.

(1)證明見解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)連接OC,根據(jù)OA=OC推出∠OCA=∠OAC,根據(jù)角平分線得出∠OCA=∠OAC=∠CAP,推出OC∥AP,得出OC⊥CD,根據(jù)切線的判定推出即可;

(2)過O作OM⊥AB于M,得出矩形OMDC,推出OM=CD,OC=AM+AD,求出AM的長,利用勾股定理求出AD的長,設(shè)圓的半徑為x,則AM=x-AD,再根據(jù)勾股定理列方程,求出x的值即可求出⊙O的半徑,從而求出⊙O的直徑的AE.

試題解析:(1)證明:連接OC.

∵OC=OA,

∴∠OAC=∠OCA.

∵AC平分∠PAE,

∴∠DAC=∠OAC,

∴∠DAC=∠OCA,

∴AD∥OC.

∵CD⊥PA,

∴∠ADC=∠OCD=90°,

即 CD⊥OC,點C在⊙O上,

∴CD是⊙O的切線.

(2)【解析】
過O作OM⊥AB于M.即∠OMA=90°,

∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,

∴四邊形DMOC是矩形,

∴OC=DM,OM=CD=4.

∵DC=4,AC=5,

∴AD=3,

設(shè)圓的半徑為x,則AM=x-AD=x-3,

∵在Rt△AMO中,∠AMO=90°,根據(jù)勾股定理得:AO2=AM2+OM2.

∴x2=(x-3)2+42,

∴x=

∴⊙O的半徑是

∴⊙O的直徑的AE=2×=

考點:1.切線的判定;2.角平分線的性質(zhì);3.圓周角定理;4.相似三角形的判定與性質(zhì).

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A. B. C.3 D.2

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A.(60°,4) B.(45°,4) C.(60°,) D.(50°,

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A.1 B.3 C.4 D.5

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