Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直徑的AE．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根據(jù)角平分線得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）過O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM的長，利用勾股定理求出AD的長，設(shè)圓的半徑為x，則AM=x-AD，再根據(jù)勾股定理列方程，求出x的值即可求出⊙O的半徑，從而求出⊙O的直徑的AE．

試題解析：（1）證明：連接OC．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC．

∵CD⊥PA，

∴∠ADC=∠OCD=90°，

即 CD⊥OC，點C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切線．

（2）【解析】
過O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，

∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，

∴四邊形DMOC是矩形，

∴OC=DM，OM=CD=4．

∵DC=4，AC=5，

∴AD=3，

設(shè)圓的半徑為x，則AM=x-AD=x-3，

∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據(jù)勾股定理得：AO2=AM2+OM2．

∴x2=（x-3）2+42，

∴x=

∴⊙O的半徑是，

∴⊙O的直徑的AE=2×=．

考點：1.切線的判定；2.角平分線的性質(zhì)；3.圓周角定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì)．