Question

【題目】如圖，在矩形中，是邊的中點，于點，連接．下列結論不正確的是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由于AE∥BC，則根據相似三角形的判定可對A選項進行判斷；利用相似三角形的性質可對B選項進行判斷；作DH⊥AC于H，如圖，證明EF∥DH，則根據平行線分線段成比例定理得到AF=FH，則可證明DH垂直平分CF，從而可對C選項進行判斷；設AF=x，則FH=CH=x，利用攝影定理可計算出DH=，然后根據正切的定義可對D進行判斷．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°

∵E是AD邊的中點，

∴BC=AD=2AE，

∵AE∥BC，

∴∠ACB=∠FAE

∵

∴∠AFE=90°

∴∠AFE=∠ABC=90°

∴△AEF∽△CAB，所以A選項的結論正確；

∴，

∴CF=2AF，所以B選項的結論正確；

作DH⊥AC于H，如圖，

∵BE⊥AC，

∴EF∥DH，

，

即AF=FH，

而CF=2AF，

∴CH=FH，

∴DH垂直平分CF，

∴DF=DC，所以C選項的結論正確；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADH+∠CDH=90°,

∵DH⊥AC,

∴∠AHD=∠CHD=90°

∴∠HAD+∠HAD=90°,

∴∠HAD=∠CDH,

∴△AHD∽△DHC

∴

設AF=x，則FH=CH=x，

∴DH2=AHCH=2xx，

∴DH=

在Rt△AHD中，，

即，所以D選項的結論錯誤．

故選：D．