Question

1．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)B作DB⊥BC于點(diǎn)B，交過(guò)點(diǎn)A直線DE交于點(diǎn)D，且∠ADB=135°，AE=2AD，連接CE，若sin∠ABC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，DB=1時(shí)，則CE=$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 作輔助線構(gòu)建等腰直角三角形和直角三角形，分別得出△BDF和△AFM是等腰直角三角形，得BF=DB=1，AM=FM，根據(jù)sin∠ABC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$設(shè)未知數(shù)，表示BM和AM的長(zhǎng)，列方程得出各線段的長(zhǎng)，并證出AG是△EFC的中位線，由此得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)A作AM⊥BC，垂足為M，延長(zhǎng)AD、CB交于F，取FC的中點(diǎn)G，連接AG，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=180°-135°=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF=DB=1，
由勾股定理得：DF=$\sqrt{2}$，
在Rt△AFM中，∵∠F=45°，
∴AM=FM，
設(shè)AM=2$\sqrt{5}$x，AB=5x，則BM=$\sqrt{5}$x，
由AM=FM得：$\sqrt{5}$x+1=2$\sqrt{5}$x，
x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=MC=$\sqrt{5}$x=1，AM=2，
∵AM⊥BC，DB⊥BC，
∴DB∥AM，
∵FB=BM，
∴FD=AD，
∵AE=2AD，
∴AE=AF，
∴AG是△EFC的中位線，
∴EC=2AG，
∵M(jìn)G=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{17}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴EC=$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形中位線性質(zhì)的運(yùn)用，同時(shí)也考查了解直角三角形，如果題中已知某一角的三角函數(shù)值，而這個(gè)值不是特殊角，要根據(jù)這個(gè)數(shù)值的比的關(guān)系設(shè)未知數(shù)，表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，但要注意利用這一數(shù)值表示邊長(zhǎng)時(shí)，必須在直角三角形中．