(1)如圖①,P為△ABC的邊AB上一點(P不與點A、點B重合),連接PC,如果△CBP∽△ABC,那么就稱P為△ABC的邊AB上的相似點.

畫法初探

①如圖②,在△ABC中,∠ACB>90°,畫出△ABC的邊AB上的相似點P(畫圖工具不限,保留畫圖痕跡或有必要的說明);

辯證思考

②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點?如果是,請說明理由;如果不是,請找出一個不存在邊上相似點的三角形;

特例分析

③已知P為△ABC的邊AB上的相似點,連接PC,若△ACP∽△ABC,則△ABC的形狀是   ;

④如圖③,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,P是邊AB上的相似點,求的值.

(2)在矩形ABCD中,AB=a,BC=b(a≥b).P是AB上的點(P不與點A、點B重合),作PQ⊥CD,垂足為Q.如果矩形ADQP∽矩形ABCD,那么就稱PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線.

①類比(1)中的“畫法初探”,可以提出問題:對于如圖④的矩形ABCD,在不限制畫圖工具的前提下,如何畫出它的邊AB、CD上的相似線PQ呢?

你的解答是:   (只需描述PQ的畫法,不需在圖上畫出PQ).

②請繼續(xù)類比(1)中的“辯證思考”、“特例分析”兩個欄目對矩形的相似線進行研究,要求每個欄目提出一個問題并解決.

 

【答案】

(1)①在∠ABC內(nèi),作∠CBD=∠A,在∠ACB內(nèi),作∠BCE=∠ABC,BD交CE于點P,則P為△ABC的自相似點;②不是,如正三角形;③直角三角形;④;(2)①在距離A點b2a處取點P,作PQ⊥CD,垂足為Q;②辯證思考:問題:是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線?如果是,請說明理由;如果不是,請找出一個不存在邊上相似線的矩形.解答:不是,如正方形.

【解析】

試題分析:(1)①根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的判定方法求解即可;

②根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的判定方法即可作出判斷;

③根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可作出判斷;

④先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠B、∠ACB的度數(shù),再根據(jù)P是△ABC邊AB上的相似點可證得△CBP∽△ABC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可;

(2)①在距離A點處取點P,作PQ⊥CD,垂足為Q;

②答案不唯一,合理即可.

(1)①在∠ABC內(nèi),作∠CBD=∠A,

在∠ACB內(nèi),作∠BCE=∠ABC,BD交CE于點P,

則P為△ABC的自相似點;

②不是,如正三角形.

③直角三角形.

④∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,

∴∠B=∠ACB=72°.

∵P是△ABC邊AB上的相似點.

∴△CBP∽△ABC.

∴∠BCP=∠A=36°,且

∴∠ACP=36°=∠A,∠B=∠BPC.

∴AP=CP=BC.

設(shè)BP=x,AP=CP=BC=y(tǒng),有

化簡,得x2+xy-y2=0.

舍去負根,得,即=;

(2)①在距離A點處取點P,作PQ⊥CD,垂足為Q;

②辯證思考

問題:是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線?如果是,請說明理由;如果不是,請找出一個不存在邊上相似線的矩形.

解答:不是,如正方形.

特例分析

答案不唯一,以下答案供參考:

i)問題:已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線,且矩形PQCB∽矩形ABCD,a、b之間有何數(shù)量關(guān)系?

解答:a=2b.

ii)問題:已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線,且P 是AB的中點,a、b之間有何數(shù)量關(guān)系?

解答:a=2b.

iii)問題:已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線,當(dāng)a=2,b=1時,求AP.

解答:AP=12. 

iv)問題:已知矩形ABCD為黃金矩形(即),PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線,求

解答:

考點:相似三角形的綜合題

點評:此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點,在中考中極為常見,一般以壓軸題形式出現(xiàn),難度較大.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,一個底角為70°的等腰三角形紙片,剪去頂角后,得到一個四邊形,則∠1+∠2=
220°
220°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,半徑長為2的正六邊形ABCDEF的頂點A在y軸上,邊BC在x軸上,則點E的坐標(biāo)是
(3,2
3
(3,2
3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,點P為正方形ABCD內(nèi)一點,且PA=1,PB=2,PC=3.試求∠APB的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD為矩形紙片.把紙片ABCD折疊,使點B恰好落在CD邊的中點E處,折痕為AF.若CD=6,則AF等于
4
3
4
3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,邊長為2
3
的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙0,點D在弧AC上運動,但與A、C兩點不重合,連結(jié)AD并延長交BC的延長線于P.
(1)求⊙0的半徑;
(2)設(shè)AD為x,AP為y,求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案