Question

2．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC=120°，將有一30度角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（圖中∠OMN=30°，∠NOM=90°）

（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問直線ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說明理由；
（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，求t；
（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠AON=30°或∠NOR=30°，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300°或120°時(shí)ON平分∠AOC，據(jù)此求解；
（3）因?yàn)椤螹ON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解答 （1）直線ON平分∠AOC；
理由：
設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線為OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB=60°，
又∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
∴∠BON=30°，
∴∠CON=120°+30°=150°，
∴∠COD=30°，
∴OD平分∠AOC，
即直線ON平分∠AOC；

（2）由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°
因此ON旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)直線ON平分∠AOC，
由題意得，6t=60°或240°，
∴t=10或40；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．