Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且OA=2，OB=OC=6，點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；

（2）連接BD，若點F是拋物線上的動點，當(dāng)∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標(biāo)：

（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請求出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），D（2，8）；（2）F點的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，）；（3）滿足條件的點Q有兩個，其坐標(biāo)分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．

【解析】

（1）由OA=2，OB=OC=6，寫出A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，再求其頂點D即可；

（2）過F作FG⊥x軸于點G，可設(shè)出F點坐標(biāo)，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點坐標(biāo)的方程，可求得F點的坐標(biāo)；

（3）由于M、N兩點關(guān)于對稱軸對稱，可知點P為對稱軸與x軸的交點，點Q在對稱軸上，可設(shè)出Q點的坐標(biāo)，則可表示出M的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標(biāo)．

解：（1）∵OA=2，OB=OC=6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣6），

把C點的坐標(biāo)代入可得6=﹣12a，解得：a=，

∴拋物線解析式為y=（x+2）（x﹣6）=x2+2x+6；

∴D（2，8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，設(shè)F（m，m2+2m+6），

則FG=|m2+2m+6|．

∵B（6，0），D（2，8），

∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，

∴BG=6﹣m，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，

∴△FBG∽△BDE，∴．

∴，

當(dāng)點F在x軸上方時，有，

解得：x=﹣1或x=6（舍去），

此時F點的坐標(biāo)為（﹣1，），

當(dāng)點F在x軸下方時，有，

解得：x=﹣3或x=6（舍去），

此時F點的坐標(biāo)為（﹣3，），

綜上可知F點的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，）；

（3）如圖2，設(shè)對角線MN、PQ交于點O'，

∵點M、N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，

∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對稱軸上，

QO'=MO'=PO'=NO'，PQ⊥MN，

設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2﹣n，n）．

∵點M在拋物線y=x2+2x+6的圖象上，

∴n=（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，

解得：n=﹣1+或n=﹣1﹣，

∴滿足條件的點Q有兩個，其坐標(biāo)分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．