Question

【題目】如圖，在四邊形中，，、相交于點，為中點，延長到點，使.

（1）求證：；

（2）求證：四邊形為平行四邊形；

（3）若，，，直接寫出四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）由AAS證明△ADE≌△CBE，即可得出AE＝CE；

（2）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，得出AB∥CD，AB＝CD，證出AB＝DF，即可得出四邊形ABDF為平行四邊形；

（3）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，證出∠DBA＝∠BAC，得出AE＝BE＝DE，證出∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD＝=,

即可得出四邊形ABDF的面積．

解答：（1）證明：∵AD∥CB，

∴∠DAC＝∠BCA，

∵E為BD中點，

∴DE＝BE，

在△ADE和△CBE中，

∴△ADE≌△CBE（AAS），

∴AE＝CE；

（2）證明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵DF＝CD，

∴AB∥DF，AB＝DF，

∴四邊形ABDF為平行四邊形；

（3）解：∵四邊形ABDF為平行四邊形，

∴∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，

∵∠BEC＝2∠F，∠BEC＝∠DBA＋∠BAC，

∴∠DBA＝∠BAC，

∴AE＝BE＝DE，

∴∠BAD＝90°，

∵AB＝CD＝1，

∴AD＝=,

∵DF＝AB＝1，

∴四邊形ABDF的面積＝DF×AD＝