如圖6123(1),在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分線BE交AC于E.
(1)求證:AE=BC;
(2)如圖6123(2),過點E作EF∥BC交AB于F,將△AEF繞點A逆時針旋轉角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,連接CE′,BF′,求證:CE′=BF′;
(3)在(2)的旋轉過程中是否存在CE′∥AB?若存在,求出相應的旋轉角α;若不存在,請說明理由.
(1)證明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
又BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=36°.
∴∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°.
∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C.
∴AE=BE,BE=BC.∴AE=BC.
(2)證明:∵AC=AB,且EF∥BC,∴AE=AF.
由旋轉的性質,可知∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′.
∴△CAE′≌△BAF′.∴CE′=BF′.
(3)解:存在.
由(1)可知AE=BC,則在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中,E點經(jīng)過的路徑(圓弧)與過點C且與AB平行的直線l交于M,N兩點,如圖38.
①當點E的像E′與點M重合時,
則四邊形ABCM為等腰梯形.
∴∠BAM=∠ABC=72°.
又∠BAC=36°,∴α=∠CAM=36°.
②當點E的像E′與點N重合時,
由AB∥l,得∠AMN=∠BAM=72°.
∵AM=AN,∴∠ANM=∠AMN=72°.
∴∠MAN=180°-2×72°=36°.
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°.
綜上所述,當旋轉角為36°或72°時,CE′∥AB.
圖38
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
某校體育組為了解學生喜歡的體育項目,從全校同學中隨機抽取了若干名同學進行調查,每位同學從乒乓球、籃球、羽毛球、排球、跳繩中選擇一項最喜歡的項目,并將調查的結果繪制成如圖718所示的兩幅統(tǒng)計圖.根據(jù)統(tǒng)計圖,解答下列問題:
(1)這次被調查的共有多少名同學?并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)若全校有1200名同學,估計全校最喜歡籃球和排球的共有多少名同學?
圖718
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖6423,在△ABC中,∠C=90°,BC=5米,AC=12米.點M在線段CA上,從C向A運動,速度為1米/秒;同時點N在線段AB上,從A向B運動,速度為2米/秒,運動時間為t秒.
(1)當t為何值時,∠AMN=∠ANM;
(2)當t為何值時,△AMN的面積最大?并求出這個最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
把一張正方形紙片按如圖6118(1)、(2)對折兩次后,再按如圖6118(3)挖去一個三角形小孔,則展開后的圖形是( )
A B C D
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖4114,下列條件中能判斷直線l1∥l2的是( )
A.∠1=∠2 B. ∠1=∠5 C. ∠1+∠3=180° D. ∠3=∠5
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