Question

如圖6­1­23(1)，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于E.

(1)求證：AE＝BC；

(2)如圖6­1­23(2)，過點E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點A逆時針旋轉角α(0°＜α＜144°)得到△AE′F′，連接CE′，BF′，求證：CE′＝BF′；

(3)在(2)的旋轉過程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相應的旋轉角α；若不存在，請說明理由．

　　　　　　

Answer 1

 (1)證明：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°.

又BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°.

∴∠BEC＝180°－∠C－∠CBE＝72°.

∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C.

∴AE＝BE，BE＝BC.∴AE＝BC.

(2)證明：∵AC＝AB，且EF∥BC，∴AE＝AF.

由旋轉的性質，可知∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′.

∴△CAE′≌△BAF′.∴CE′＝BF′.

(3)解：存在．

由(1)可知AE＝BC，則在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，E點經(jīng)過的路徑(圓弧)與過點C且與AB平行的直線l交于M，N兩點，如圖38.

①當點E的像E′與點M重合時，

則四邊形ABCM為等腰梯形．

∴∠BAM＝∠ABC＝72°.

又∠BAC＝36°，∴α＝∠CAM＝36°.

②當點E的像E′與點N重合時，

由AB∥l，得∠AMN＝∠BAM＝72°.

∵AM＝AN，∴∠ANM＝∠AMN＝72°.

∴∠MAN＝180°－2×72°＝36°.

∴α＝∠CAN＝∠CAM＋∠MAN＝72°.

綜上所述，當旋轉角為36°或72°時，CE′∥AB.

圖38