Question

如圖，⊙C經(jīng)過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），D為⊙C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)且∠ODB=60°，解答下列各題：

（1）求線段AB的長及⊙C的半徑；

（2）求B點(diǎn)坐標(biāo)及圓心C的坐標(biāo)．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】垂徑定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．

【分析】（1）連接AB；由圓周角定理可知，AB必為⊙C的直徑；Rt△ABO中，易知OA的長，而∠OAB=∠ODB=60°，通過解直角三角形，即可求得斜邊AB的長，也就求得了⊙C的半徑；

（2）在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的長，進(jìn)而可得到B點(diǎn)的坐標(biāo)；過C分別作弦OA、OB的垂線，設(shè)垂足為E、F；根據(jù)垂徑定理即可求出OE、OF的長，也就得到了圓心C的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）連接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°

∴∠OAB=60°，

∵∠AOB是直角，

∴AB是⊙C的直徑，∠OBA=30°；

∴AB=2OA=4，∴⊙C的半徑r=2；

 

（2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，

∴OB=，∴B的坐標(biāo)為：（，0）

過C點(diǎn)作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，

由垂徑定理得：OE=AE=1，OF=BF=，

∴CE=，CF=1，

∴C的坐標(biāo)為（，1）．

【點(diǎn)評】此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、點(diǎn)的坐標(biāo)意義、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用能力，綜合性較強(qiáng)，難度適中．