Question

如圖，我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．如果一條直線與果圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則這條直線叫做果圓的切線．已知A、B、C、D四點(diǎn)為果圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，E為半圓的圓心，拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣3，AC為半圓的直徑．

（1）分別求出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式；

（3）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的果圓的切線與x軸交于點(diǎn)M，求△OBM的面積．

　

Answer 1

 

【考點(diǎn)】圓的綜合題．

【分析】（1）連接DE，根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)題意求出半圓的直徑，根據(jù)勾股定理求出OD的長(zhǎng)，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)射影定理求出EF的長(zhǎng)，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式；

（3）根據(jù)切線的性質(zhì)得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的果圓的切線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)一元二次方程的判別式解答即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

【解答】解：（1）連接DE，

∵y=x²﹣2x﹣3，

∴x=0時(shí)，y=﹣3，

y=0時(shí)，x₁=﹣1，x₂=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），

∵AC=4，

∴AE=DE=2，

∴OE=1，

∴OD==，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）；

（2）∵DF是果圓的切線，

∴ED⊥DF，又DO⊥EF，

∴DE²=EO•EF，

∴EF=4，則OF=3，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0），

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y=kx+b，

則，

解得．

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的果圓的切線DF的解析式為y=x+；

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=ax+c，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3），

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=ax﹣3，

由題意得，方程組只有一個(gè)解，

即一元二次方程x²﹣（a+2）x=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

△=（a+2）²﹣4×1×0=0，

解得a=﹣2，

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的果圓的切線的解析式為：y=﹣2x﹣3，

當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0），即OM=，

∴△OBM的面積=×OM×OB=．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)的定理、數(shù)形結(jié)合思想以及方程思想是解題的關(guān)鍵．