Question

【題目】Rt△OBC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，點(diǎn)C在y軸上，∠OCB＝90°，反比例函數(shù)y＝(k＞0)在第一象限內(nèi)的圖象與OB邊交于點(diǎn)D(m，3)，與BC邊交于點(diǎn)E(n，6)．

(1)求m與n的數(shù)量關(guān)系；

(2)連接CD，若△BCD的面積為12，求反比例函數(shù)的解析式和直線OB的解析式；

(3)設(shè)點(diǎn)P是線段OB邊上的點(diǎn)，在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得以B、C、P為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與△BDE相似？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P戶的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝2n；（2）直線OB的解析式，反比例函數(shù)的解析式；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）；

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上得到方程，即可得到結(jié)論；

（2）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，可得DF=3，根據(jù)三角形的面積公式可得BC=8，即可得到結(jié)論；

（3）如圖，作PG⊥BC于G，①當(dāng)△BED∽△BCP時(shí)，②當(dāng)△BED∽△BPC時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)D(m，3)與E(n，6)在y＝(k＞0)上

∴

∴m與n的數(shù)量關(guān)系為m＝2n；

（2）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，可得DF=3，

∴

解得BC=12，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)（12,6）

∴直線OB的解析式；

∵點(diǎn)D(m，3)在OB邊上

∴D點(diǎn)坐標(biāo)(6，3)

∴反比例函數(shù)的解析式；

（3）如圖，作PG⊥BC于G，由（2）得E點(diǎn)坐標(biāo)（3,6）

①當(dāng)△BED∽△BCP時(shí)，∠BED＝∠BCP，＝，

∴DF⊥BC，PG⊥BC，

∴DF∥PG，

∴△BDF∽△BPG，

∴＝，

∴＝，即，

∴PG＝4，

∴P（4，2）；

②當(dāng)△BED∽△BPC時(shí)，＝，

∴，

∴BP＝，

∵＝，即．

∴PG＝7.2，此時(shí)P不在線段OB上，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）．