Question

【題目】如圖①，中，，點(diǎn)分別在邊上，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

[觀察猜想]圖①，線段與的數(shù)量關(guān)系是 ，_____；

[探究證明]把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連結(jié)，上述猜想的結(jié)論是否成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】[觀察猜想]，；[探究證明]成立，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)得出MP=CE，PN=BD，再根據(jù)AB=AC，且AD=AE，得出BD=CE，即可證明PN=PM；先求出∠B=∠ACB==66°，∠B+∠BDC+∠DCB=180°，再根據(jù)MP∥CE，PN∥DB，得出∠DPN=180°-∠BDC，∠MPD=∠ECD，即可求出∠MPN；

（2）連接CE，先證明△BAD≌△CAE，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MP=CE=BD，PN=BD，即可證明MP=PN；根據(jù)∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，且∠DBC=∠ABC-∠ABD=66°-∠ABD，∠BCD=∠ACB-∠ACD=66°-∠ACD，推出∠BDC=48°+∠DCE，再根據(jù)MP∥CE，PN∥DB，可得∠MPD=∠ECD，∠NPD=180°-∠PDB，即可求出∠MPN．

解：（1）∵M，P分別為DE，CD中點(diǎn)，

∴MP∥CE且MP=CE，

∵P，N分別為CD，BC中點(diǎn)，

∴PN∥BD且PN=BD，

∵AB=AC，且AD=AE，

又∵BD=AB-AD，CE=AC-AE，

∴BD=CE，

∴PN=PM，

∵∠A=48°，且AB=AC，

∴∠B=∠ACB==66°，∠B+∠BDC+∠DCB=180°，

∴∠BDC-∠DCE=48°，

∵MP∥CE，PN∥DB，

∴∠DPN=180°-∠BDC，∠MPD=∠ECD，

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=180°-（∠BDC-∠ECD）=132°；

（2）成立，

如圖，連接CE，

∵∠BAC=∠DAE=48°，且∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠BAD+∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴CE=BD，∠ECA=∠ABD，

∵M，P，N分別為DE，DC，BC中點(diǎn)，

∴MP=CE=BD，PN=BD，

∴MP=PN，

∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，且∠DBC=∠ABC-∠ABD=66°-∠ABD，∠BCD=∠ACB-∠ACD=66°-∠ACD，

∴∠BDC=180°-66°-66°+∠ABD+∠ACD

=48°+∠ABD+∠ACD

=48°+∠ACE+∠ACD

∴∠BDC=48°+∠DCE，

∵MP∥CE，PN∥DB，

∴∠MPD=∠ECD，∠NPD=180°-∠PDB，

∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=180°-∠PDB+∠ECD=180°-（48°+∠DCE）+∠ECD=180°-48°=132°，

∴猜想成立．