Question

7．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第一象限拋物線上的一點，連接PA、PB、PO，若△POA的面積是△POB面積的$\frac{4}{3}$倍．
①求點P的坐標(biāo)；
②點Q為拋物線對稱軸上一點，請直接寫出QP+QA的最小值；
（3）點M為直線AB上的動點，點N為拋物線上的動點，當(dāng)以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先確定出點A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）設(shè)出點P的坐標(biāo)，①用△POA的面積是△POB面積的$\frac{4}{3}$倍，建立方程求解即可；②利用對稱性找到最小線段，用兩點間距離公式求解即可；
（3）分OB為邊和為對角線兩種情況進行求解，①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②當(dāng)OB為對角線時，OB與MN互相平分，交點為H，設(shè)出M，N坐標(biāo)用OH=BH，MH=NH，建立方程組求解即可．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{1}{2}$x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（2，0），B（0，1），
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4+2b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$
∴拋物線解析式為y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
由（1）知，拋物線解析式為y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
∵點P是第一象限拋物線上的一點，
∴設(shè)P（a，-a²+$\frac{3}{2}$a+1），（（a＞0，-a²+$\frac{3}{2}$a+1＞0），
∴S_△POA=$\frac{1}{2}$OA×P_y=$\frac{1}{2}$×2×（-a²+$\frac{3}{2}$a+1）=-a²+$\frac{3}{2}$a+1
S_△POB=$\frac{1}{2}$OB×P_x=$\frac{1}{2}$×1×a=$\frac{1}{2}$a
∵△POA的面積是△POB面積的$\frac{4}{3}$倍．
∴-a²+$\frac{3}{2}$a+1=$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$a，
∴a=$\frac{3}{2}$或a=-$\frac{2}{3}$（舍）
∴P（$\frac{3}{2}$，1）；
②如圖1，

由（1）知，拋物線解析式為y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
∴拋物線的對稱軸為x=$\frac{3}{4}$，拋物線與x軸的另一交點為C（-$\frac{1}{2}$，0），
∵點A與點C關(guān)于對稱軸對稱，
∴QP+QA的最小值就是PC=$\sqrt{5}$；
（3）①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時，MN=OB=1，MN∥OB，
∵點N在直線AB上，
∴設(shè)M（m，-$\frac{1}{2}$m+1），
∴N（m，-m²+$\frac{3}{2}$m+1），
∴MN=|-m²+$\frac{3}{2}$m+1-（-$\frac{1}{2}$m+1）|=|m²-2m|=1，
Ⅰ、m²-2m=1，
解得，m=1±$\sqrt{2}$，
∴M（1+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$（1-$\sqrt{2}$））或M（1-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$））
Ⅱ、m²-2m=-1，
解得，m=1，
∴M（1，$\frac{1}{2}$）；
②當(dāng)OB為對角線時，OB與MN互相平分，交點為H，
∴OH=BH，MH=NH，
∵B（0，1），O（0，0），
∴H（0，$\frac{1}{2}$），
設(shè)M（n，-$\frac{1}{2}$n+1），N（d，-d²+$\frac{3}{2}$d+1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+d}{2}=0}\\{\frac{-\frac{1}{2}n+1-sddpiij^{2}+\frac{3}{2}d+1}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=1+\sqrt{2}}\\{n=-（1+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=1-\sqrt{2}}\\{n=-（1-\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
∴M（-（1+$\sqrt{2}$），$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{2}$））或M（-（1-$\sqrt{2}$），$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{2}$））；
即：滿足條件的點M的坐標(biāo)（1+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$（1-$\sqrt{2}$））或（1-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$））或（1，$\frac{1}{2}$）或M（-（1+$\sqrt{2}$），$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{2}$））或M（-（1-$\sqrt{2}$），$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{2}$））；

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，對稱性，解本題的關(guān)鍵是求拋物線解析式，確定最小值和點M坐標(biāo)時，分類討論是解本題的難點．