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某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點問題進行探究,已知AB=8.
問題思考:
如圖1,點P為線段AB上的一個動點,分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.
(1)在點P運動時,這兩個正方形面積之和是定值嗎?如果時求出;若不是,求出這兩個正方形面積之和的最小值.
(2)分別連接AD、DF、AF,AF交DP于點A,當(dāng)點P運動時,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在兩個面積始終相等的三角形?請說明理由.
問題拓展:
(3)如圖2,以AB為邊作正方形ABCD,動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動,且PQ=8.若點P從點A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向D點運動,求點P從A到D的運動過程中,PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長。
(4)如圖(3),在“問題思考”中,若點M、N是線段AB上的兩點,且AM=BM=1,點G、H分別是邊CD、EF的中點.請直接寫出點P從M到N的運動過程中,GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值.
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已知二次函數(shù),其圖像拋物線交軸的于點A(1,0)、B(3,0),交y軸于點C.直線過點C,且交拋物線于另一點E(點E不與點A、B重合).
(1)求此二次函數(shù)關(guān)系式;
(2)若直線經(jīng)過拋物線頂點D,交軸于點F,且∥,則以點C、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,求出點E的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
(3)若過點A作AG⊥軸,交直線于點G,連OG、BE,試證明OG∥BE.
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為了考察冰川融化的狀況,一支科考隊在某冰川上設(shè)一定一個以大本營O為圓心,半徑為4km 圓形考察區(qū)域,線段P1、P2是冰川的部分邊界線(不考慮其它邊界),當(dāng)冰川融化時,邊界線沿著與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動.若經(jīng)過n年,冰川的邊界線P1P2移動的距離為s(km),并且s與n(n為正整數(shù))的關(guān)系是.以O(shè)為原點,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,其中P1、P2的坐標(biāo)分別是(-4,9)、(-13,-3).
(1)求線段P1P2所在的直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求冰川的邊界線移動到考察區(qū)域所需要的最短時間.
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在一次科技活動中,小明進行了模擬雷達雪描實驗.如圖,表盤是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°,在點A處有一束紅外光線AP,從AB開始,繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn),每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°,到達AC后立即以相同的旋轉(zhuǎn)速度返回A、B,到達后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程.小明通過實驗發(fā)現(xiàn),光線從AB處開始旋轉(zhuǎn)計時,旋轉(zhuǎn)1秒, 時光線AP交BC于點M,BM的長為()cm.
(1)求AB的長;
(2)從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時,若旋轉(zhuǎn)6秒,此時AP與BC邊交點在什么位置?若旋轉(zhuǎn)2014秒,此時AP與BC邊交點在什么位置?并說明理由.
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小明在某商店購買商品A、B共三次,只有一次購買時,商品同時打折,其余兩次均按標(biāo)價購買,三次購買商品A、B的數(shù)量和費用如下表:
購買商品A的 數(shù)量(個) | 購買商品B的 數(shù)量(個) | 購買 總費用(元) | |
第一次購物 | 6 | 5 | 1140 |
第二次購物 | 3 | 7 | 1110 |
第三次購物 | 9 | 8 | 1062 |
(1)小明以折扣價購買商品是第 次購物.
(2)求商品A、B的標(biāo)價.
(3)若品A、B的折扣相同,問商店是打幾折出售這兩種商品的?
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如圖1,在一個不透明的袋子中裝有四個球,分別標(biāo)有字母A、B、C、D,這些球除了字母外完全相同,此外,有一面白色、另一面黑色、大小相同的四張正方形卡片,每張卡片兩面的字母相同,分別標(biāo)有字母A、B、C、D。最初,擺成如圖2的樣子,A、D是黑色,B、C是白色.
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兩次操作后觀察卡片的顏色。
(如:第一次取出A、第二次取出B,此時卡片的顏色變成 )
(1)取四張卡片變成相同顏色的概率;
(2)求四張卡片變成兩黑兩白、并恰好形成各自顏色的矩形的概率.
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