Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，點（n，S_n）在曲線f（x）=x²-4x（x∈N^*）上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_n•2^n-1，求數列{b_n}的前n項和T_n的值．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由題意可得Sn=n2-4n（n∈N^*），利用遞推公式a_n=S_n-S_n-1，可求．
（2）由b_n=a_n•2^n-1，得b_n=（2n-5）•2^n-1，利用錯位相減法可求數列的和．

解答： 解：（1）由點（n，S_n）在曲線f（x）=x²-4x上（x∈N⁺）知Sn=n2-4n（n∈N^*）
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-[（n-1）²-4（n-1）]=2n-5；   
當n=1時，a₁=S₁=-3，滿足上式；
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-5（n∈N）
（2）∵b_n=a_n•2^n-1，a_n=2n-5（n∈N）
∴b_n=（2n-5）•2^n-1，
∴Tn=-3×20+(-1)×21+1×22+…+(2n-5)×2n-1①
上式兩邊乘以2，得
2Tn=-3×21+(-1)×22+1×23+…+(2n-5)×2n②
①-②得，

-Tn=-3×20+2(21+22+…+2n-1)-(2n-5)×2n =-3×20+ 22(1-2n-1) 1-2 -(2n-5)×2n

解得，Tn=(2n-7)×2n+7．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，錯位相減求解數列的和是數列求和的重要方法，要注意掌握．