Question

四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，求能形成的三棱錐體積最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱鏡形的鐵架，有以下兩種情況：①底面是邊長為2的正三角形，三條側(cè)棱長為2，a，a；②構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長為a，其他各邊長為2．當(dāng)①中，SA⊥平面ABC時(shí)，三棱錐體積取最大值．

解答： 解：根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱鏡形的鐵架，
有以下兩種情況：
①底面是邊長為2的正三角形，
三條側(cè)棱長為2，a，a，如圖，
此時(shí)a可以取最大值，可知AD=

3

，
SD=

a2-1

，
則有

a2-1

＜2+

3

，
即a²＜8+4

3

=（

6

+

2

）²，
即有1＜a＜

6

+

2

．
②構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長為a，其他各邊長為2，
如圖所示，此時(shí)0＜a＜2

2

．
∴當(dāng)①中，SA⊥平面ABC時(shí)，三棱錐體積取最大值，
此時(shí)V_S-ABC=

1

3

×SA×S△ABC=

1

3

×2×

1

2

×2×2×sin60°=

2 3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間想像能力，我們要結(jié)合分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，極限思想，求出a的最大值和最小值，進(jìn)而得到形成的三棱錐體積最大值．