Question

已知函數(shù)f(x)＝a^x＋x²－xlna－b(a，b∈R，a>1)，e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a＝e，b＝4時，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(k，k＋1)上存在零點．

Answer 1

解　(1)f′(x)＝a^xlna＋2x－lna＝2x＋(a^x－1)lna.

∵a>1，∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時，lna>0，a^x－1>0.

∴f′(x)>0.

∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

(2)∵f(x)＝e^x＋x²－x－4，∴f′(x)＝e^x＋2x－1，∴f′(0)＝0.

當(dāng)x>0時，e^x>1，∴f′(x)>0.

∴f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)；

同理，f(x)是(－∞，0)上的減函數(shù)．

又f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，

f(2)＝e²－2>0，

當(dāng)x>2時，f(x)>0，

∴當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)的零點在(1,2)內(nèi)．

∴k＝1滿足條件；

f(0)＝－3<0，f(－1)＝－2<0，

f(－2)＝＋2>0，

當(dāng)x<－2時，f(x)>0；

∴當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)的零點在(－2，－1)內(nèi)．

∴k＝－2滿足條件．

綜上所述，k＝1或－2.