Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-1+a，a∈R．
（Ⅰ）若a=2，試求函數(shù)y=

f(x)

x

（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）對(duì)于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由y=

f(x)

x

=

x2-4x+1

x

=x+

1

x

-4．利用基本不等式即可求得函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）由題意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x²-2ax-1≤0在[0，2]恒成立”．不妨設(shè)g（x）=x²-2ax-1，則只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出不等式解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得y=

f(x)

x

=

x2-4x+1

x

=x+

1

x

-4．
因?yàn)閤＞0，所以x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

時(shí)，即x=1時(shí)，等號(hào)成立．
所以y≥-2．
所以當(dāng)x=1時(shí)，y=

f(x)

x

的最小值為-2．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）-a=x²-2ax-1，所以要使得“?x∈[0，2]，
不等式f（x）≤a成立”只要“x²-2ax-1≤0在[0，2]恒成立”．
不妨設(shè)g（x）=x²-2ax-1，則只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．
因?yàn)間（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-1-a²，
所以

g(0)≤0 g(2)≤0

即

0-0-1≤0 4-4a-1≤0

，解得a≥

3

4

．
所以a的取值范圍是[

3

4

，+∞）． …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的最值即恒成立問題的劃歸轉(zhuǎn)化等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．