Question

已知函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x+ 3 4 ，x≥2 log2x，0＜x＜2

，若函數(shù)g（x）=f（x）-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、（

  3

  4

  ，1）
• B、（0，

  3

  4

  ）
• C、（-∞，1）
• D、（0，1）

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：先由g（x）=f（x）-k=0，得f（x）=k．然后分別作出函數(shù)y=f（x），y=k的圖象．利用函數(shù)g（x）=f（x）-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：由g（x）=f（x）-k=0，得f（x）=k．
設(shè)兩個(gè)函數(shù)分別為y=f（x），y=k．因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以y=f（x），y=k，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
所以作出函數(shù)y=f（x）的圖象如圖：由圖象可知當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）有最大值1，
由圖象可知當(dāng)

3

4

＜k＜1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)y=f（x），y=k，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
所以要使函數(shù)g（x）=f（x）-k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

3

4

＜k＜1，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)與方程以及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解決此類問題的基本方法是利用數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．